算术平均和几何平均

2024-09-192024-09-22

初始数据

我们有三台机器（机器A、机器B、机器C），它们运行两个程序（P1、P2），原始执行时间如下：

程序	机器A执行时间	机器B执行时间	机器C执行时间
P1	1秒	10秒	20秒
P2	1000秒	100秒	20秒

使用机器A作为基准

归一化时间计算

如果我们选择机器A作为基准，那么归一化后的执行时间将是：

程序	机器A执行时间	机器B执行时间	机器C执行时间	机器B的归一化时间	机器C的归一化时间
P1	1秒	10秒	20秒	10 / 1 = 10	20 / 1 = 20
P2	1000秒	100秒	20秒	100 / 1000 = 0.1	20 / 1000 = 0.02

平均计算

算术平均：
$\text{Arithmetic Mean of Normalized Time (Machine B)} = \frac{10 + 0.1}{2} = \frac{10.1}{2} = 5.05$

$\text{Arithmetic Mean of Normalized Time (Machine C)} = \frac{20 + 0.02}{2} = \frac{20.02}{2} = 10.01$
几何平均：
$\text{Geometric Mean of Normalized Time (Machine B)} = \sqrt{10 \times 0.1} = \sqrt{1} = 1.0$

$\text{Geometric Mean of Normalized Time (Machine C)} = \sqrt{20 \times 0.02} = \sqrt{0.4} \approx 0.63$

使用机器B作为基准

归一化时间计算

如果我们选择机器B作为基准，那么归一化后的执行时间将是：

程序	机器A执行时间	机器B执行时间	机器C执行时间	机器A的归一化时间	机器C的归一化时间
P1	1秒	10秒	20秒	1 / 10 = 0.1	20 / 10 = 2
P2	1000秒	100秒	20秒	1000 / 100 = 10	20 / 100 = 0.2

平均计算

算术平均：
$\text{Arithmetic Mean of Normalized Time (Machine A)} = \frac{0.1 + 10}{2} = \frac{10.1}{2} = 5.0$

$\text{Arithmetic Mean of Normalized Time (Machine C)} = \frac{2 + 0.2}{2} = \frac{2.2}{2} = 1.1$
几何平均：
$\text{Geometric Mean of Normalized Time (Machine A)} = \sqrt{0.1 \times 10} = \sqrt{1} = 1.0$

$\text{Geometric Mean of Normalized Time (Machine C)} = \sqrt{2 \times 0.2} = \sqrt{0.4} \approx 0.63$

使用机器C作为基准

归一化时间计算

如果我们选择机器C作为基准，那么归一化后的执行时间将是：

程序	机器A执行时间	机器B执行时间	机器C执行时间	机器A的归一化时间	机器B的归一化时间
P1	1秒	10秒	20秒	1 / 20 = 0.05	10 / 20 = 0.5
P2	1000秒	100秒	20秒	1000 / 20 = 50	100 / 20 = 5

平均计算

算术平均：
$\text{Arithmetic Mean of Normalized Time (Machine A)} = \frac{0.05 + 50}{2} = \frac{50.05}{2} = 25.025$

$\text{Arithmetic Mean of Normalized Time (Machine B)} = \frac{0.5 + 5}{2} = \frac{5.5}{2} = 2.75$
几何平均：
$\text{Geometric Mean of Normalized Time (Machine A)} = \sqrt{0.05 \times 50} = \sqrt{2.5} \approx 1.58$

$\text{Geometric Mean of Normalized Time (Machine B)} = \sqrt{0.5 \times 5} = \sqrt{2.5} \approx 1.58$

重点解释

几何平均的一致性

我们可以看到，无论我们选择哪一台机器作为基准，几何平均值总是能够给出一个相对稳定的度量。具体对比数据如下：

机器B的几何平均值：
以机器A为基准：( $\approx 1.0$ )
以机器B为基准：( $\approx 0.63$ )
以机器C为基准：( $\approx 1.58$ )
机器C的几何平均值：
以机器A为基准：( $\approx 0.63$ )
以机器B为基准：( $\approx 0.63$ )
以机器C为基准：( $\approx 1.58$ )

算术平均的敏感性

算术平均的敏感性体现在当基准变化时，算术平均的结果会发生较大变动。具体对比数据如下：

机器B的算术平均值：
以机器A为基准：( $\approx 5.05$ )
以机器B为基准：( $\approx 1.1$ )
以机器C为基准：( $\approx 2.75$ )
机器C的算术平均值：
以机器A为基准：( $\approx 10.01$ )
以机器B为基准：( $\approx 1.1$ )
以机器C为基准：( $\approx 25.025$ )

总结

通过对比数据可以看出：

几何平均的一致性：无论选择哪台机器作为基准，几何平均值的变化较小，反映了不同机器之间相对稳定的性能比较。
算术平均的敏感性：当基准变化时，算术平均值会有较大的变化，这说明算术平均容易受到极端值的影响，并且不如几何平均稳定。

因此，在评估不同机器的相对性能时，几何平均提供了一个更一致、更可靠的度量方法。

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